2015-10-29

信号与系统常用公式

记录一些常考易忘的公式，以及一些心得。

冲激函数

$\begin{align} &f(t)\delta'(t) = f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t) \\ &\int^{+\infty}_{-\infty}f(t) \,\mathrm{d}t = -f'(0) \\ &\int^{+\infty}_{-\infty}\delta(t-t_1)\phi(t) \,\mathrm{d}t = \phi(t_1) \\ &\int^{+\infty}_{-\infty}\delta'(t-t_1)\phi(t) \,\mathrm{d}t = -\phi'(t_1) &\end{align}$

复合函数形式的冲激函数

$\begin{align} \delta\bigr[f(t)\bigr] &= \delta\bigr[f'(t_i)(t-t_i)\bigr] \\ &= \frac{1}{\bigr|f'(t_i)\bigr|}\delta(t-t_i) \\ \end{align}$

注：的 $n$ 个根必须为单根，即 $f'(t_i)\neq0$

借助 DTFT 求离散系统的频率响应

类型一

$\begin{align} \bigl|H(\mathrm{e}^{j\theta})\bigr| &= \sqrt{\frac{(\cos\theta+1)^2+\sin^2\theta}{(\cos\theta-1/2)^2+\sin^2\theta}}\\ &= \sqrt{\frac{2(\cos\theta+1)}{5/4-\cos\theta}} \\ &= \sqrt{\frac{16\cos^2\frac{\theta}{2}}{1+8\sin^2\frac{\theta}{2}}} \\ &= \sqrt{\frac{16\cos^2\frac{\theta}{2}}{\sin^2\frac{\theta}{2}+\cos^2\frac{\theta}{2}+8\sin^2\frac{\theta}{2}}} \\ &= \frac{4}{\sqrt{1+9\tan^2\frac{\theta}{2}}} \end{align}$

类型二

$\begin{align} \frac{\mathrm{e}^{j\theta}-\mathrm{e}^{-j3\theta}}{\mathrm{e}^{j\theta}-1} &= \frac{\mathrm{e}^{-j\theta}(\mathrm{e}^{j2\theta} -\mathrm{e}^{-j2\theta})}{\mathrm{e}^{j\theta/2}(\mathrm{e}^{j\theta/2}-\mathrm{e}^{-j\theta/2})} \\ &= \mathrm{e}^{-j3\theta/2}\times\frac{\frac{\mathrm{e}^{j2\theta} -\mathrm{e}^{-j2\theta}}{2}}{\frac{\mathrm{e}^{j\theta/2}-\mathrm{e}^{-j\theta/2}}{2}} \\ &= \mathrm{e}^{-j3\theta/2}\frac{\sin2\theta}{\sin(\theta/2)} \end{align}$

全通函数频率响应的化简

$\begin{align} &H(z)=\frac{z-a}{z-1/a}\\ &\lvert H(\mathrm{e}^{j\theta})\rvert = \biggl\lvert\frac{\mathrm{e}^{j\theta}-a}{\mathrm{e}^{j\theta}-1/a}\biggr\rvert\\ &= \sqrt{\frac{(\cos\theta-a)^2+\sin^2\theta}{(\cos\theta-1/a)^2+\sin^2\theta}}\\ &=\sqrt{\frac{\cos^2\theta-2a\cos\theta+a^2+\sin^2\theta}{\cos^2\theta-2a^{-1}\cos\theta+a^{-2}+\sin^2\theta}}\\ &=\frac{1+a^2-2a\cos\theta}{1+a^{-2}-2a^{-1}\cos\theta}\\ &=a^2\times\frac{1+a^2-2a\cos\theta}{a^2+1-2a\cos\theta} \\ &=a^2 \end{align}$

拉氏变换

信号 $\mathrm{e}^t\varepsilon(t)-\varepsilon(t+2)$ 对应的单边拉氏变换为 $\frac{1}{s(s-1)}$
$\left\{ \begin{aligned} &sY(s)-y(0_-) \\ &s^2Y(s)-sy(0_-)-y'(0_-) \end{aligned} \right.$

求单边拉氏变换时 $\varepsilon(t+2)$ 等价于 $\varepsilon(t)$

Z变换

只有当 $H(z)$ 的收敛域包含单位圆时频响 $H(\mathrm{e}^{j\theta})$ 才存在。
$\frac{z}{(z-a)^{m+1}}\leftrightarrow \mathrm{C}^m_ka^{k-m}\varepsilon(k)$
$\left\{ \begin{aligned} &z^{-1}Y(z)+f(-1) \\ &z^{-2}Y(z)+z^{-1}f(-1)+f(-2) \end{aligned} \right.$